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第1章 数学物理方程的定解问题1

1.1 基本概念1

1.1.1 偏微分方程的基本概念1

1.1.2 三类常见的数学物理方程2

1.1.3 数学物理方程的一般性问题2

1.2 数学物理方程的导出3

1.2.1 波动方程的导出4

1.2.2 输运方程的导出10

1.2.3 稳定场方程的导出15

1.3 定解条件与定解问题17

1.3.1 初始条件17

1.3.2 边界条件19

1.3.3 三类定解问题23

1.4 本章小结23

习题24

第2章 行波法27

2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式27

2.1.1 达朗贝尔公式的导出27

2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义29

2.1.3 依赖区间和影响区域31

2.2 半无限长弦的自由振动32

2.3 三维波动方程的泊松公式35

2.3.1 平均值法36

2.3.2 泊松公式36

2.3.3 泊松公式的物理意义39

2.4 强迫振动41

2.4.1 冲量原理41

2.4.2 纯强迫振动43

2.4.3 一般强迫振动44

2.5 三维无界空间的一般波动问题46

2.6 本章小结48

习题49

第3章 分离变量法53

3.1 双齐次问题53

3.1.1 有界弦的自由振动53

3.1.2 均匀细杆的热传导问题57

3.1.3 稳定场分布问题60

3.2 本征值问题63

3.2.1 斯特姆-刘维型方程63

3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题64

3.2.3 斯特姆-刘维型方程本征值问题的性质67

3.3 非齐次方程的处理72

3.3.1 本征函数展开法72

3.3.2 冲量原理法76

3.4 非齐次边界条件的处理77

3.4.1 边界条件的齐次化原理77

3.4.2 其他非齐次边界条件的处理79

3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法82

3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题82

3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念84

3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法87

3.6 本章小结90

习题92

第4章 特殊函数95

4.1 二阶线性常微分方程的级数解95

4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点95

4.1.2 方程常点邻域内的级数解95

4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解99

4.2 勒让德多项式103

4.2.1 勒让德多项式104

4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示107

4.3 勒让德多项式的性质108

4.3.1 勒让德函数的母函数108

4.3.2 勒让德多项式的递推公式110

4.3.3 勒让德多项式的正交归一性111

4.3.4 广义傅里叶级数展开113

4.4 勒让德多项式在解数学物理方程中的应用114

4.5 连带勒让德函数116

4.5.1 连带勒让德函数本征值问题117

4.5.2 连带勒让德函数的性质119

4.5.3 连带勒让德函数在解数学物理方程中的应用121

4.6 球函数122

4.6.1 一般的球函数定义122

4.6.2 球函数的正交归一性122

4.6.3 球函数的应用123

4.7 贝塞尔函数125

4.7.1 三类贝塞尔函数（贝塞尔方程的解）125

4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题128

4.8 贝塞尔函数的性质129

4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示129

4.8.2 贝塞尔函数的递推关系130

4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性132

4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开133

4.9 其他柱函数136

4.9.1 球贝塞尔函数136

4.9.2 虚宗量贝塞尔函数139

4.10 贝塞尔函数的应用141

4.11 本章小结146

习题149

第5章 积分变换法154

5.1 傅里叶变换154

5.1.1 傅里叶积分154

5.1.2 傅里叶变换155

5.1.3 傅里叶变换的物理意义157

5.1.4 傅里叶变换的性质157

5.1.5 δ函数的傅里叶变换162

5.1.6 n维傅里叶变换162

5.2 傅里叶变换法162

5.2.1 波动问题162

5.2.2 输运问题164

5.2.3 稳定场问题165

5.3 拉普拉斯变换167

5.3.1 拉普拉斯变换167

5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理167

5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质171

5.4 拉普拉斯变换的应用174

5.4.1 用拉普拉斯变换解常微分方程174

5.4.2 用拉普拉斯变换解偏微分方程176

5.5 本章小结182

习题184

第6章 格林函数法188

6.1 δ函数189

6.1.1 δ函数的定义189

6.1.2 δ函数的性质189

6.1.3 δ函数的应用193

6.2 泊松方程边值问题的格林函数法194

6.2.1 格林函数的一般概念194

6.2.2 泊松方程的基本积分公式195

6.3 格林函数的一般求法201

6.3.1 无界空间的格林函数201

6.3.2 一般边值问题的格林函数203

6.3.3 电像法204

6.3.4 电像法和格林函数的应用212

6.4 格林函数的其他求法214

6.4.1 用本征函数展开法求解边值问题的格林函数214

6.4.2 用冲量法求解含时间的格林函数216

6.5 本章小结219

习题222

第7章 数学物理方程的其他解法224

7.1 延拓法224

7.1.1 半无界杆的热传导问题224

7.1.2 有界弦的自由振动225

7.2 保角变换法226

7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义226

7.2.2 拉普拉斯方程的解229

7.3 积分方程的迭代解法231

7.3.1 积分方程的几种分类231

7.3.2 迭代解法232

7.4 变分法234

7.4.1 泛函和泛函的极值234

7.4.2 里兹方法237

7.5 本章小结240

第8章 数学物理方程的可视化计算241

8.1 分离变量法的可视化计算241

8.1.1 矩形区泊松方程的求解241

8.1.2 直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用243

8.2 特殊函数的应用247

8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加247

8.2.2 平面波展开为球面波的叠加251

8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用255

8.2.4 球体雷达散射截面的解析解259

8.3 积分变换法的可视化计算274

8.4 格林函数的可视化计算276

8.5 本章小结279

参考文献280