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第1章 小波与小波分析1

1.1 从Fourier分析到小波分析1

1.1.1 历史回顾1

1.1.2 小波2

1.2 小波变换6

1.3 小波级数8

1.4 多分辨分析9

第2章 空间的基底与框架12

2.1 Banach空间与Hilbert空间12

2.1.1 Banach空间12

2.1.2 Hilbert空间16

2.2 算子与谱17

2.2.1 线性算子17

2.2.2 算子的特征值与特征向量20

2.3 空间的基底22

2.3.1 Banach空间的基底22

2.3.2 Hilbert空间的正交基23

2.3.3 Hilbert空间的双正交基24

2.3.4 Hilbert空间的Riesz基26

2.3.5 广义函数27

2.4 框架28

2.4.1 紧框架和框架29

2.4.2 框架算子31

2.4.3 对偶框架的计算34

第3章 Fourier变换、Gabor变换与连续小波变换38

3.1 Fourier变换38

3.1.1 L1（R）中的Fourier变换38

3.1.2 L2（R）中的Fourier变换42

3.1.3 Poisson求和公式43

3.1.4 Shannon定理44

3.2 Gabor变换45

3.2.1 连续Gabor变换45

3.2.2 例子47

3.2.3 测不准原理51

3.2.4 连续Gabor变换的性质与重构53

3.2.5 离散Gabor变换55

3.3 连续小波变换57

3.3.1 小波变换的计算57

3.3.2 连续小波变换的性质与重构58

3.3.3 小波的例62

3.4 小波奇异性分析66

3.4.1 H？lder正则性66

3.4.2 小波变换对函数的正则性分析68

第4章 多分辨分析72

4.1 小波级数72

4.1.1 离散小波变换72

4.1.2 正交性条件及Riesz条件的等价表示72

4.1.3 Riesz小波76

4.2 多分辨分析77

4.2.1 问题的提出77

4.2.2 多分辨分析79

4.2.3 尺度函数的性质81

4.2.4 小波空间83

4.3 分解算法与重构算法85

4.3.1 算法的推导85

4.3.2 算法的计算88

4.3.3 边界处理的几种方法90

4.3.4 初始系数的选择91

4.3.5 图形显示算法97

4.4 小波包分解99

4.4.1 正交小波包概念99

4.4.2 L2（R）的正交分解103

第5章 小波构造106

5.1 尺度函数与小波106

5.1.1 V1的分解106

5.1.2 关于V1的对偶基111

5.2 正交尺度函数与正交小波113

5.2.1 几个正交小波的例子113

5.2.2 尺度函数产生小波116

5.2.3 基数样条空间和B-样条119

5.2.4 Franklin小波与Battle-Lemané小波122

5.2.5 正交小波基的正规性125

5.3 紧支撑正交尺度函数的构造127

5.3.1 尺度系数的参数化127

5.3.2 紧支撑情形Daubechies小波129

5.3.3 正交小波的例131

5.4 半正交小波134

5.4.1 基数样条空间的基底134

5.4.2 两尺度关系137

5.4.3 样条小波计算140

第6章 小波框架145

6.1 小波框架145

6.1.1 L2（R）空间的小波框架145

6.1.2 二进小波框架149

6.2 框架多分辨分析150

6.2.1 框架多分辨分析的概念150

6.2.2 生成框架多分辨分析函数的充分条件151

6.3 框架的构造155

6.3.1 小波框架存在的条件155

6.3.2 小波框架的解161

6.4 多小波框架168

6.4.1 两个小波生成的多小波框架168

6.4.2 多小波框架169

第7章 多小波和多带小波172

7.1 多小波多分辨分析172

7.1.1 可加细函数向量172

7.1.2 正交多分辨分析和多小波176

7.1.3 双正交多分辨分析和多小波179

7.2 多小波逼近182

7.2.1 多小波的矩182

7.2.2 逼近阶183

7.3 多小波的计算186

7.3.1 多小波分解与重构算法186

7.3.2 预处理和后处理188

7.3.3 平衡多小波191

7.3.4 多小波分解信号与图像的例子193

7.4 多小波的两尺度相似变换构造195

7.4.1 正规与奇异两尺度相似变换195

7.4.2 多小波两尺度相似变换198

第8章 提升格式和双正交小波206

8.1 紧支撑双正交小波206

8.1.1 紧支撑正交小波基缺乏对称性206

8.1.2 双正交小波和对偶208

8.1.3 对偶尺度函数与对偶小波211

8.1.4 双正交Riesz基213

8.1.5 对称双正交小波214

8.2 整数到整数的小波变换220

8.2.1 S变换220

8.2.2 提升整数小波变换221

8.3 双正交小波的提升222

8.3.1 双正交小波提升概念222

8.3.2 提升格式的分解与重构算法226

第9章 多元小波与脊波228

9.1 一元小波生成的二元小波变换228

9.2 二元张量积小波分析229

9.2.1 张量积空间229

9.2.2 张量积多分辨分析229

9.2.3 分解与重构232

9.3 脊波变换235

9.3.1 连续脊波变换235

9.3.2 离散脊波变换236

9.3.3 规范正交有限脊波变换239

9.4 二元紧支撑不可分小波的构造241

9.4.1 二元紧支撑正交小波的构造原理241

9.4.2 Ayache型不可分正交小波的构造242

9.4.3 Belogay型不可分正交小波的构造246

第10章 抽样理论249

10.1 小波空间中的抽样定理249

10.1.1 Shannon抽样定理与小波子空间249

10.1.2 空间中的抽样序列250

10.1.3 抽样定理的例子252

10.2 小波不规则抽样定理253

10.2.1 平移的规则抽样定理253

10.2.2 小波子空间中的不规则抽样定理255

10.3 小波空间抽样定理的其他扩展256

10.3.1 尺度函数的过采样性质256

10.3.2 一类正交基插值尺度函数260

10.3.3 一类正交基插值尺度函数的例子262

10.3.4 一类带限的具有快速衰减的正交基插值尺度函数的构造263

第11章 向量值小波与多通道通信267

11.1 向量值函数空间267

11.2 向量值多分辨分析269

11.2.1 多分辨分析269

11.2.2 正交向量值尺度函数的特征271

11.3 正交向量值小波272

11.3.1 正交向量值小波的存在性272

11.3.2 正交向量值小波的构造276

11.4 正交向量值小波包281

11.5 矩阵向量值小波286

11.5.1 矩阵向量值小波变换286

11.5.2 矩阵向量值小波的多小波构造289

11.5.3 多小波平衡290

11.5.4 全方向平衡291

11.6 全方向平衡对称—反对称多小波293

11.6.1 全方向平衡对称—反对称多小波的构造293

11.6.2 构造过程294

11.6.3 全方向对称—反对称5-3滤波器的构造296

11.6.4 全方向对称—反对称7-5滤波器的构造299

11.6.5 实验结果301

第12章 小波分析在信号处理中的应用304

12.1 几个基本问题的应用304

12.1.1 按预先给出的要求划分频带304

12.1.2 时频分析305

12.1.3 信噪分离与提取弱信号306

12.1.4 求分形指数307

12.2 一个信号的时频分析309

12.3 音乐和音频信号310

第13章 图像压缩314

13.1 图像压缩基础314

13.1.1 问题提出314

13.1.2 图像分解314

13.1.3 小波系数分析316

13.2 向量量化压缩319

13.2.1 向量量化方法的基本思想319

13.2.2 LBG算法320

13.2.3 改进的LBG算法322

13.2.4 小波向量量化压缩323

13.3 小波系数零树编码压缩324

13.3.1 小波变换与嵌入式编码324

13.3.2 小波系数零树编码325

13.3.3 逐次逼近量化326

13.3.4 简单例子与试验结果328

第14章 小波去噪332

14.1 小波阈值去噪332

14.1.1 噪声及去噪332

14.1.2 阈值图像去噪方法与去噪实验332

14.2 小波域隐马尔可夫过程树去噪337

14.2.1 隐马尔可夫过程去噪原理337

14.2.2 小波域隐马尔可夫树去噪实验341

14.3 基于隐马尔可夫树模型的特殊去噪345

14.3.1 贝叶斯隐马尔可夫树估计345

14.3.2 一般隐马尔可夫树估计346

14.3.3 平移不变隐马尔可夫树估计346

14.3.4 三种估计的去噪实验347

第15章 边缘检测350

15.1 边缘与边缘检测350

15.1.1 数字图像及数字图像处理350

15.1.2 边缘及边缘的类型351

15.1.3 边缘检测重要性351

15.1.4 边缘检测的方法352

15.2 Canny连续准则及其算法356

15.2.1 边缘检测的Canny准则356

15.2.2 Canny准则下最优边缘检测滤波器的求解358

15.2.3 边缘检测的离散三准则360

15.3 小波多尺度边缘检测362

15.3.1 问题的提出362

15.3.2 信号多尺度边缘检测362

15.3.3 边缘奇异性分析366

15.4 多尺度边缘检测重构369

15.4.1 一维信号多尺度边缘检测重构算法370

15.4.2 多尺度边缘的图像重建373

15.4.3 小波的构造378

第16章 小波在医疗中的应用380

16.1 心电图信号380

16.2 小波分析应用于脑电图信号382

16.2.1 脑电图信号时频分析导引382

16.2.2 脑电图信号的小波谱分析383

16.3 核磁共振频谱实验385

16.4 在CT中的应用386

参考文献390